주파수 영역에서의 처리 - (2) 삼각함수 기초

주파수에 대한 기본적인 내용을 이해하기 위해서는 삼각함수에 대한 이해가 필수적이다. 삼각함수가 무엇인지와 그 성질들을 간단하게 알아보도록 하자. 이 장에서 다룰 내용은 고등학교 교재 <수학 10-나>의 삼각함수 단원에서 다루는 내용으로, 이미 익숙한 사람은 편하게 읽고 넘어가도록 하자. 아직 <수학 10-나>까지 진도가 나가지 않은 학생이라도, 삼각함수에 대한 기초적인 내용을 간단히 이해할 수 있을 것이다.

[ 라디안 ]

90도, 180도와 같이 각도를 재는 단위로서 도(degree, ˚) 는 여러분에게 매우 익숙할 것이다. 360˚를 기준으로 하는 이 단위를 사용하면 직관적으로는 편리하지만, 미적분학 등에서 응용될 때에 여러가지 불편한 점이 발생한다. 그래서 만들어진 단위가 바로 라디안(radian)이다.

위 그림처럼, 반지름과 원주의 길이가 같아지는 각을 1 라디안이라고 한다. 같은 중심각이라면 반지름과 원주의 길이는 비례하므로, 이것으로 각도가 정의될 수 있다. 반지름이 1인 원의 둘레의 길이는 2π이므로, 360도와 2π라디안의 크기가 같아진다. 즉, 라디안과 도 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

자주 사용하는 몇 가지 각도를 표로 나타내면 아래와 같다.

Degrees	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Radians	0					π		2π

라디안을 접하게 되는 학생들이라면 누구나 편리하고 나누기도 쉬운 360도를 왜 굳이 이상한 각도로 나타내는지 의문을 가지게 될 것이다. 프로그래밍에서 삼각함수를 다뤄 본 적이 있다면, 이상한 숫자를 곱해야지 제대로 된 삼각함수 값이 나와서 귀찮아했던 적도 있었을 것이다. 왜 라디안이라는 단위를 사용하는지에 대해 간단히 소개하고 넘어가도록 하겠다.

중학교 때 삼각비를 배운 학생이라면, 아래 그림에서 를 쉽게 찾을 수 있을 것이다.

짧은 수직선의 길이가 바로 이다. 그럼 오른쪽 원호의 길이는 얼마일까? θ를 라디안으로 사용하면 원호의 길이는 θ가 된다. 라디안을 사용하면, 반지름이 1인 원(단위원)에서 중심각과 원호의 길이가 같아지기 때문이다. 자, 이제 θ가 무지무지 작다고 가정해보자. θ가 작아질수록 수직선과 원호는 점점 서로에 가까워지게 된다. 즉, θ가 아주 작고 라디안 단위를 사용한다면 아래와 같이 적을 수 있다.

또는

천문관측 등에서 매우 작은 각도를 다룰 때에, 실제로 이 식이 흔히 이용된다. 게다가 이 식은 삼각함수의 미적분에서도 유용하게 쓰여서, 관련된 응용 분야에서 라디안을 사용할 때 계산이 편리해지는 경우가 많다.

물론 이 컨텐츠에서는 미적분학을 다루지 않는다. 겁먹지 마시라ㅎㅎ

[ 삼각함수와 그 그래프 ]

0~90도 사이의 각도들에 대한 삼각비는 여러분에게 친숙할 것이다. 삼각비의 개념을 확장한 삼각함수는 모든 각도에 대해서 정의되는 함수이다.

아래 그림처럼, 좌표평면상에 단위원을 그리고, x축에서 왼쪽으로 θ라디안만큼 회전한 점을 생각하자.

그럼 그 점의 x좌표와 y좌표가 각각 , 가 된다. θ가 2π보다 크면 한 바퀴보다 더 돌면 되고, θ의 값이 마이너스라면 오른쪽으로 돌면 된다. 즉, 0~90도 사이의 각도에 대해서만 정의되던 삼각비와는 달리, 단위원을 이용해 정의된 삼각함수는 모든 각도에 대해서 정의된다. 다시 말하면 함수의 정의역이 모든 실수로 확장된 것이다.

다양한 각도에서의 삼각함수의 값을 아래 그림에 표시했다.

여러분은 1차 또는 2차 다항함수의 그래프를 그리는 방법에 대해 익숙할 것이다. 각각이 직선, 포물선 모양이라면 삼각함수의 그래프는 아래와 같은 물결 모양이다. 앞 페이지의 그림에서 확인한 여러 각도에 대한 삼각함수들의 값과 그래프를 비교해 보고, 이 함수들에 익숙해지도록 하자.

[ 삼각함수의 성질 ]

삼각함수의 그래프를 다시 한 번 자세히 살펴보자. 그래프에서 보면, 삼각함수의 값은 2π마다 반복되고 있음을 확인할 수 있다. 2π만큼 회전하면 한 바퀴를 더 돌아서 같은 위치에 오기 때문에, 삼각함수의 값 또한 같기 때문이다. 즉 삼각함수는 아래와 같은 성질을 만족한다.